آمار و احتمال در کسب‌وکار اجاره اقامتگاه

آمار به صاحب اقامتگاه کمک می‌کند به‌جای «حس می‌کنم تعطیلات پرتقاضا بود» بگوید «میانگین چند رزرو در هفته است، چقدر نوسان دارد، و این عدد چقدر قابل‌اعتماد است». این درس شش ابزار را کنار هم می‌گذارد: شاخص‌های مرکزی و پراکندگی، توزیع پواسون برای شمارش رویدادها (ورود مهمان)، توزیع نرمال برای مقدارهای پیوسته (درآمد ماهانه)، فاصله‌ی اطمینان، آزمون فرضیه (آیا تغییر نرخ اثر داشت؟) و همبستگی. همه‌ی عددهای مثال را قدم به قدم حساب کرده و دوباره کنترل کرده‌ایم، ولی داده‌ها فرضی‌اند.

این درس بخشی از سری «مدیریت علمی کسب‌وکار اجاره اقامتگاه» است (نقشه‌ی راه). آخرین بازبینی: ۲ آبان ۱۴۰۵.

هدف‌های یادگیری این درس

1. میانگین، میانه و انحراف معیار نمونه را حساب کنید و تفاوت میانگین و میانه را در داده‌ی دارای مقدار پرت توضیح دهید.

2. با فرمول پواسون احتمال تعداد مشخصی ورود مهمان در یک روز را حساب کنید.

3. با امتیاز z احتمال یک رخداد را در توزیع نرمال بخوانید.

4. فاصله‌ی اطمینان ۹۵٪ برای نسبت اشغال و میانگین رزرو هفتگی بسازید و درست تفسیرش کنید.

5. نتیجه‌ی یک آزمون ساده‌ی تغییر نرخ را بخوانید و بین همبستگی و علیت فرق بگذارید.

چرا آمار؟ ریشه‌ها و جایگاه آن

آمار دو شاخه‌ی هم‌پوشان دارد: توصیفی (خلاصه‌کردن داده‌ی موجود) و استنباطی (قضاوت درباره‌ی چیزی بزرگ‌تر از نمونه، مثلاً کل سال از روی چند ماه). نمونه‌هایی از ریشه‌های تاریخی (که فقط از ویکی‌پدیا داریم و منبع اولیه‌شان را نخواندیم): پواسون (Siméon Denis Poisson) توزیع نام‌دارش را در ۱۸۳۷ در بررسی شمار رویدادها ارائه کرد و بورتکیویچ (Bortkiewicz) در ۱۸۹۸ نشان داد مرگ‌های ناشی از لگد اسب در ارتش پروس به آن نزدیک است (Poisson distribution). نیمن (Jerzy Neyman) در ۱۹۳۷ نخستین گزارش جامع فاصله‌ی اطمینان را داد (Confidence interval). فرمول‌ها و جدول‌های این درس را اما با منبع‌های بازِ کاربردی سنجیده‌ایم: «کتابچه‌ی الکترونیکی روش‌های آماری» NIST/SEMATECH و کتاب درسی آزاد «آمار مقدماتی کسب‌وکار» (OpenStax). مونتگومری (Montgomery، ۲۰۱۹) در کتاب مرجع کنترل آماری کیفیت، این روش‌ها را در خدمت بهبود فرایندها در بخش‌های تولیدی و غیرتولیدی می‌آورد (توضیح ناشر Wiley؛ کتاب را کامل نخواندیم).

حرف بنیادی درس: عدد بدون معنای پراکندگی و عدم قطعیت، گمراه‌کننده است. درباره‌ی «تحلیل داده» به‌صورت کلی‌تر، درس بعدی سری (تحلیل کسب‌وکار بر پایه‌ی داده‌ها) ادامه می‌دهد.

میانگین، میانه و انحراف معیار

میانگین مجموع تقسیم بر تعداد است؛ میانه مقدار وسط داده‌ی مرتب‌شده؛ انحراف معیار معیار پراکندگی. فرمول انحراف معیار نمونه: ریشه‌ی (مجموع مربعات انحراف از میانگین) ÷ (n − 1). تقسیم بر n − 1 (اصلاح بسل) برآورد بی‌تعصب‌تری از واریانس جامعه می‌دهد؛ اگر کل جامعه را دارید بر n تقسیم می‌شود (ویکی‌پدیا: Standard deviation). در داده‌ی تقریباً نرمال، حدود ۶۸٪ مقدارها در یک انحراف معیار، ۹۵٪ در دو و ۹۹٫۷٪ در سه انحراف معیار از میانگین‌اند.

مثال اقامتگاهی: فرض کنید تعداد رزروهای جدید یک مجتمع در ۸ هفته چنین بود: ۴، ۶، ۵، ۷، ۳، ۵، ۶، ۴.

- مجموع = ۴۰؛ میانگین = ۴۰ ÷ ۸ = ۵. - انحراف از میانگین: ۱−، ۱، ۰، ۲، ۲−، ۰، ۱، ۱−؛ مربعات: ۱، ۱، ۰، ۴، ۴، ۰، ۱، ۱؛ مجموع = ۱۲. - واریانس نمونه = ۱۲ ÷ (۸ − ۱) = ۱۲ ÷ ۷ ≈ ۱٫۷۱؛ انحراف معیار = √۱٫۷۱ ≈ ۱٫۳۱. - میانه: مرتب‌شده ۳، ۴، ۴، ۵، ۵، ۶، ۶، ۷ ← (۵ + ۵) ÷ ۲ = ۵.

یعنی «معمولاً حدود ۵ رزرو در هفته، با نوسان حدود ±۱٫۳». (اگر ۸ هفته را کل جامعه می‌دانستید، واریانس ۱۲ ÷ ۸ = ۱٫۵ و انحراف معیار ≈ ۱٫۲۲ می‌شد.)

میانگین به مقدارهای پرت حساس است، میانه نه:

مثال اقامتگاهی: فرض کنید نرخ شب‌های فروخته‌شده‌ی یک ویلا (میلیون تومان) در ۸ شب نمونه ۲٫۰، ۲٫۲، ۲٫۰، ۲٫۴، ۲٫۲، ۲٫۰، ۲٫۲ و ۹٫۰ (شب تعطیلات) بود. مجموع = ۲۴؛ میانگین = ۲۴ ÷ ۸ = ۳٫۰. مرتب‌شده: ۲٫۰، ۲٫۰، ۲٫۰، ۲٫۲، ۲٫۲، ۲٫۲، ۲٫۴، ۹٫۰ ← میانه = (۲٫۲ + ۲٫۲) ÷ ۲ = ۲٫۲.

اگر قیمت «معمولی» را ۳٫۰ بگذارید، تقریباً هیچ شبی آن را نمی‌خرد؛ میانه (۲٫۲) تصویر درست‌تری از شب عادی می‌دهد. برای ریشه‌های قیمت‌گذاری، عوامل قیمت‌گذاری اقامتگاه را ببینید.

خطای رایج: گزارش فقط میانگین. دو اقامتگاه با میانگین ۵ رزرو در هفته، یکی با انحراف معیار ۰٫۵ و دیگری ۳، از نظر ریسک نقدینگی دو کسب‌وکار متفاوت‌اند.

توزیع پواسون؛ ورود مهمان در یک روز

وقتی رویدادها تصادفی، مستقل و با نرخ متوسط ثابت رخ می‌دهند (ورود مهمان، پیام رزرو، درخواست در روز)، شمار رخدادها در یک بازه از توزیع پواسون پیروی می‌کند. فرمول (صفحه‌ی توزیع پواسون در NIST/SEMATECH، که آن را مدل شمار رویدادها در یک بازه‌ی زمانی ثابت و توزیعی گسسته با مقدارهای صحیح توصیف می‌کند):

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k ÷ k!

که λ میانگین شمار رویداد در بازه است و NIST می‌گوید میانگین و واریانس هر دو برابر λ‌اند (انحراف معیار √λ). شرط‌ها: رخدادها مستقل، نرخ ثابت، و دو رخداد هم‌زمان نباشند. ویکی‌پدیا موارد ناکارآمدی را هم نام می‌برد: نرخ در طول زمان تغییر کند (مثل ازدحام ورودی‌ها در ساعتی خاص)، رخدادها خوشه‌ای شوند، یا صفرها بیشتر از پیش‌بینی باشند.

مثال اقامتگاهی: فرض کنید در یک مجتمع به‌طور متوسط ۳ مهمان در روز چک‌این می‌کنند (λ = ۳). با e^(−۳) ≈ ۰٫۰۴۹۸:

| k (ورود) | محاسبه | احتمال | |---|---|---| | ۰ | ۰٫۰۴۹۸ | ۰٫۰۴۹۸ (۵٫۰٪) | | ۱ | ۰٫۰۴۹۸ × ۳ | ۰٫۱۴۹۴ (۱۴٫۹٪) | | ۲ | ۰٫۱۴۹۴ × ۳ ÷ ۲ | ۰٫۲۲۴۰ (۲۲٫۴٪) | | ۳ | ۰٫۲۲۴۰ × ۳ ÷ ۳ | ۰٫۲۲۴۰ (۲۲٫۴٪) | | ۴ | ۰٫۲۲۴۰ × ۳ ÷ ۴ | ۰٫۱۶۸۰ (۱۶٫۸٪) | | ۵ | ۰٫۱۶۸۰ × ۳ ÷ ۵ | ۰٫۱۰۰۸ (۱۰٫۱٪) |

مجموع ۰ تا ۵ = ۰٫۰۴۹۸ + ۰٫۱۴۹۴ + ۰٫۲۲۴۰ + ۰٫۲۲۴۰ + ۰٫۱۶۸۰ + ۰٫۱۰۰۸ ≈ ۰٫۹۱۶۱. اگر پذیرش بتواند حداکثر ۵ چک‌این در روز را مرتب سرویس بدهد، احتمال ۶ ورود یا بیشتر = ۱ − ۰٫۹۱۶۱ ≈ ۰٫۰۸۴ (حدود ۸٫۴٪)؛ یعنی در ماه ۳۰ روزه حدود ۳۰ × ۰٫۰۸۴ ≈ ۲٫۵ روز.

احتمال خالی ماندن: برای نیاز به مثال دیگر، فرض کنید برای یک شب خاص (جمعه) به‌طور متوسط ۲ استعلام قیمت می‌رسد (λ = ۲). احتمال اینکه هیچ استعلامی نیاید: P(۰) = e^(−۲) ≈ ۰٫۱۳۵ (۱۳٫۵٪). این فقط احتمال نبود استعلام است، نه احتمال خالی ماندن واحد؛ تبدیل استعلام به رزرو باید جدا برآورد شود.

خطای رایج: پواسون را در روزهای تعطیل با روزهای عادی ترکیب کردن؛ λ در این دو فرق دارد. باید λ را برای هر نوع روز جدا حساب کنید.

توزیع نرمال؛ درآمد ماهانه و امتیاز z

توزیع نرمال زنگوله‌ای است که با میانگین μ و انحراف معیار σ تعریف می‌شود. هر مقدار را با z = (x − μ) ÷ σ استاندارد می‌کنند (ویکی‌پدیا: Normal distribution). مقدار جدول برای z = ۱٫۵− را در جدول آماری پیوست کتاب OpenStax «آمار مقدماتی کسب‌وکار» هم دیدیم: سطح میان ۰ و ۱٫۵ برابر ۰٫۴۳۳۲ است و احتمال دم برابر ۰٫۰۶۶۸. دلیل رایج بودنش قضیه‌ی حد مرکزی است: میانگین/مجموع بسیاری مشاهده‌ی مستقل به نرمال میل می‌کند. این برای مجموع درآمد روزانه خوب است، اما برای تعداد کم رخداد (ورود مهمان در یک روز) نرمال مناسب نیست و پواسون بهتر است.

مثال اقامتگاهی: فرض کنید درآمد ماهانه‌ی یک مجتمع تقریباً نرمال با میانگین ۳۰۰ میلیون و انحراف معیار ۴۰ میلیون تومان باشد.

- بازه‌ی یک‌انحرافی: ۲۶۰ تا ۳۴۰ میلیون ← حدود ۶۸٪ ماه‌ها. - احتمال درآمد کمتر از ۲۴۰ میلیون: z = (۲۴۰ − ۳۰۰) ÷ ۴۰ = ۱٫۵−؛ از جدول نرمال استاندارد احتمال ≈ ۰٫۰۶۶۸ یعنی حدود ۶٫۷٪، تقریباً یک ماه در هر ۱۵ ماه.

اگر اجاره و حقوق ثابت ماهانه ۲۴۰ میلیون است، در حدود ۶٫۷٪ ماه‌ها زیان می‌دهید. این تخمین فقط وقتی معتبر است که داده واقعاً نرمال باشد؛ در فصل‌های پرنوسان (نوروز) باید داده‌ی همان فصل را جدا کنید.

برای دیدن اثر نوسان فصل بر برنامه‌ریزی، تحلیل حساسیت و سناریو را بخوانید.

فاصله‌ی اطمینان؛ اشغال و رزرو هفتگی با اطمینان بیان شود

فاصله‌ی اطمینان بازه‌ای است که با روشی ساخته می‌شود که در تکرارهای بسیار، مثلاً ۹۵٪ بازه‌ها مقدار واقعی را بپوشانند. تفسیر درست: ۹۵٪ مربوط به روش است، نه احتمال اینکه مقدار واقعی در این یک بازه باشد. کتاب OpenStax (آمار مقدماتی کسب‌وکار، فصل ۸) همین را می‌گوید: اگر نمونه‌گیری را بارها تکرار کنیم و هر بار بازه بسازیم، حدود ۹۵٪ بازه‌ها پارامتر را می‌پوشانند، و سطح اطمینان باید پیش از محاسبه تعیین شود نه پس از دیدن نتیجه. ویکی‌پدیا هم سه تفسیر غلط رایج را فهرست می‌کند.

فرمول‌ها:

• نسبت: p̂ ± ۱٫۹۶ × √(p̂(۱ − p̂) ÷ n). OpenStax (بخش ۸٫۳) همین فرمول را می‌آورد و شرط می‌گذارد که هم n·p̂ و هم n·(۱ − p̂) بزرگ‌تر از ۵ باشند. NIST/SEMATECH صورت دقیق‌تری به نام بازه‌ی ویلسون (Agresti–Coull) و بازه‌ی دقیق دوجمله‌ای برای نمونه‌های کوچک یا نسبت‌های نزدیک به صفر و یک پیشنهاد می‌کند.

• میانگین (نمونه‌ی کوچک): x̄ ± t × s ÷ √n، با t از توزیع t استیودنت با n − 1 درجه‌ی آزادی (OpenStax، بخش ۸٫۲؛ با افزایش درجه‌ی آزادی t به ۱٫۹۶ نزدیک می‌شود).

مثال اقامتگاهی ۱ (نسبت اشغال): فرض کنید از ۳۰۰ شب موجود، ۱۹۵ شب فروخته شد: p̂ = ۱۹۵ ÷ ۳۰۰ = ۰٫۶۵. خطای معیار = √(۰٫۶۵ × ۰٫۳۵ ÷ ۳۰۰) = √(۰٫۲۲۷۵ ÷ ۳۰۰) = √۰٫۰۰۰۷۵۸ ≈ ۰٫۰۲۷۵۴. حاشیه = ۱٫۹۶ × ۰٫۰۲۷۵۴ ≈ ۰٫۰۵۴۰. فاصله‌ی ۹۵٪ = ۰٫۶۵ ± ۰٫۰۵۴ = ۵۹٫۶٪ تا ۷۰٫۴٪. «اشغال ما ۶۵٪ است» دقیق نیست؛ «حدود ۶۵٪، بین ۶۰٪ تا ۷۰٪» درست‌تر است. (برای مقایسه، بازه‌ی ویلسون NIST با همین داده ≈ ۵۹٫۵٪ تا ۷۰٫۱٪ می‌شود؛ تفاوت ناچیز است چون n بزرگ است. محاسبه‌ی ما با نرم‌افزار راستی‌آزمایی نشده، با فرمول دستی است.) هشدار: شب‌های پشت‌سرهم مستقل نیستند (هفته‌ی تعطیل کل شب‌ها را پر می‌کند)، پس این بازه معمولاً خوش‌بینانه و باریک‌تر از واقعیت است.

مثال اقامتگاهی ۲ (میانگین رزرو هفتگی): از ۸ هفته‌ی قبل: x̄ = ۵ و s ≈ ۱٫۳۱ (n = ۸). خطای معیار = ۱٫۳۰۹ ÷ √۸ = ۱٫۳۰۹ ÷ ۲٫۸۲۸ ≈ ۰٫۴۶۳. مقدار t برای ۷ درجه‌ی آزادی و ۹۵٪ دوطرفه ≈ ۲٫۳۶۵ (جدول t). حاشیه = ۲٫۳۶۵ × ۰٫۴۶۳ ≈ ۱٫۰۹۵. فاصله = ۵ ± ۱٫۰۹ = ۳٫۹ تا ۶٫۱ رزرو در هفته. با ۸ هفته داده نمی‌توان گفت میانگین «دقیقاً ۵» است؛ بازه‌ی اطمینان ±۱ است. با ۳۲ هفته داده بازه باریک‌تر می‌شود (خطای معیار با √n کم می‌شود).

(مقدارهای t = ۲٫۳۶۵ برای ۷ درجه‌ی آزادی و ۲٫۲۶۲ برای ۹ درجه‌ی آزادی را در ستون ۰٫۰۲۵ جدول t پیوست کتاب OpenStax «آمار مقدماتی کسب‌وکار» (که خودش جدول را از NIST/SEMATECH گرفته) دیدیم.)

آزمون فرضیه؛ آیا افزایش نرخ واقعاً اشغال را کم کرد؟

در آزمون فرضیه، H₀ «تغییری نبود» و H₁ «تغییر بود» است. آماره‌ی آزمون را حساب می‌کنیم و p-value را می‌خوانیم: احتمال دیدن نتیجه‌ای دست‌کم به این شدت، اگر H₀ درست باشد. OpenStax (آمار مقدماتی کسب‌وکار، بخش ۹٫۳) آن را همین‌طور تعریف می‌کند و قاعده‌ی تصمیم را مقایسه‌ی p با α می‌نویسد: اگر α بزرگ‌تر از p باشد H₀ رد می‌شود، وگرنه شواهد کافی برای ردش نیست؛ و برای آزمون نسبت‌ها شرط می‌گذارد هر دو np و nq بیش از ۵ باشند (در مثال ما ۳۰۰ × ۰٫۶ و ۳۰۰ × ۰٫۴ هر دو بسیار بزرگ‌ترند). p-value احتمال درست‌بودن H₀ نیست و اندازه‌ی اثر یا اهمیت نتیجه را نمی‌سنجد (ویکی‌پدیا: P-value، بر پایه‌ی بیانیه‌ی ۲۰۱۶ انجمن آمار آمریکا؛ متن خود بیانیه را نخواندیم). NIST/SEMATECH آزمون تک‌نمونه‌ی نسبت را با آماره‌ی z = (p̂ − p₀) ÷ √(p₀(۱ − p₀) ÷ N) می‌نویسد؛ صورت دونمونه‌ای مثال ما را از آن صفحه نگرفتیم.

مثال اقامتگاهی: فرض کنید قیمت از ۲٫۰ به ۲٫۲ میلیون تومان (۱۰٪ بالاتر) رفت. قبل از افزایش، از ۳۰۰ شب، ۱۹۵ شب فروخته شد (۶۵٪)؛ بعد از افزایش، از ۳۰۰ شب، ۱۸۰ شب (۶۰٪).

آزمون دو نسبت (فرمول رایج): - p̂ ترکیبی = (۱۹۵ + ۱۸۰) ÷ ۶۰۰ = ۰٫۶۲۵. - خطای معیار = √(۰٫۶۲۵ × ۰٫۳۷۵ × (۱ ÷ ۳۰۰ + ۱ ÷ ۳۰۰)) = √(۰٫۲۳۴۳۷۵ × ۰٫۰۰۶۶۶۷) = √۰٫۰۰۱۵۶۲۵ ≈ ۰٫۰۳۹۵. - z = (۰٫۶۵ − ۰٫۶۰) ÷ ۰٫۰۳۹۵ ≈ ۱٫۲۶۵. - p-value دوطرفه ≈ ۲ × ۰٫۱۰۳ ≈ ۰٫۲۰۶.

چون ۰٫۲۰۶ از ۰٫۰۵ بزرگ‌تر است، شواهد کافی نداریم که افت اشغال حقیقی است؛ می‌تواند نوسان تصادفی باشد. ولی «اثبات نشده» با «اثری نداشت» یکی نیست. از نظر پولی: درآمد به‌ازای هر شب موجود قبل = ۰٫۶۵ × ۲٫۰ = ۱٫۳۰ و بعد = ۰٫۶۰ × ۲٫۲ = ۱٫۳۲ میلیون؛ حتی افت ظاهری اشغال، درآمد را کم نکرده. برای تصمیم قیمت، کشش قیمتی و عرضه و تقاضا چارچوب اقتصادی را می‌دهد و قیمت‌گذاری پویا استفاده‌ی عملی.

خطای رایج: اگر «با ۲ آزمون، یکی معنادار شد» را به‌عنوان کشف بگیرید. هرچه بیشتر آزمون بزنید، یکی تصادفاً معنادار می‌شود. و نتیجه‌ی معنادار آماری لزوماً از نظر مالی مهم نیست.

همبستگی در برابر علیت

ضریب همبستگی پیرسون r بین ۱− و ۱+ است و قدرت رابطه‌ی خطی را می‌سنجد: r = S_xy ÷ √(S_xx · S_yy). همبستگی علیت نیست: ویکی‌پدیا دو علت عمده را نام می‌برد: علت معکوس و عامل مشترک (متغیر مخدوش‌کننده)، و هم‌چنین تصادف.

مثال اقامتگاهی: فرض کنید ۵ واحد دارید. تعداد عکس آگهی (x): ۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۲۵؛ و استعلام ماهانه (y): ۴، ۵، ۹، ۸، ۱۴. - میانگین x = ۱۵، میانگین y = ۸. - انحراف‌ها: dx = ۱۰−، ۵−، ۰، ۵، ۱۰؛ dy = ۴−، ۳−، ۱، ۰، ۶. - S_xy = (۴۰ + ۱۵ + ۰ + ۰ + ۶۰) = ۱۱۵؛ S_xx = ۱۰۰ + ۲۵ + ۰ + ۲۵ + ۱۰۰ = ۲۵۰؛ S_yy = ۱۶ + ۹ + ۱ + ۰ + ۳۶ = ۶۲. - r = ۱۱۵ ÷ √(۲۵۰ × ۶۲) = ۱۱۵ ÷ √۱۵٬۵۰۰ = ۱۱۵ ÷ ۱۲۴٫۵ ≈ ۰٫۹۲. - شیب خط = ۱۱۵ ÷ ۲۵۰ = ۰٫۴۶ استعلام اضافه به‌ازای هر عکس.

همبستگی بسیار قوی است؛ ولی نتیجه نمی‌گیرد که «اگر برای هر واحد ۲۰ عکس دیگر بگذارم، استعلام ۹ تا بالا می‌رود». ممکن است واحدهای بهتر و بزرگ‌تر هم عکس بیشتر دارند هم استعلام بیشتر (عامل مشترک). با ۵ نقطه هم نمی‌توان چیز زیادی را اثبات کرد. راه علیت: آزمایش (در یک واحد عکس اضافه کنید و دوره‌ی قبل و بعد را در شرایط مشابه مقایسه کنید).

مطالعه‌ی موردی (فرضی)

مدیر مجتمعی ۱۰ روز ورود مهمان را شمرده: ۲، ۴، ۳، ۱، ۳، ۵، ۲، ۳، ۴، ۳.

1. توصیف: مجموع = ۳۰؛ میانگین = ۳. انحرافات: ۱−، ۱، ۰، ۲−، ۰، ۲، ۱−، ۰، ۱، ۰؛ مربعات: ۱، ۱، ۰، ۴، ۰، ۴، ۱، ۰، ۱، ۰ = ۱۲. واریانس = ۱۲ ÷ ۹ ≈ ۱٫۳۳؛ انحراف معیار ≈ ۱٫۱۵.

2. بازبینی فرض پواسون: در پواسون واریانس برابر میانگین (۳) است، ولی اینجا ۱٫۳۳ است، کمتر. با ۱۰ روز نمی‌شود قضاوت قطعی کرد (احتمال تصادف زیاد)، پس با داده‌ی بیشتر دوباره بررسی می‌کند.

3. پواسون با λ = ۳: احتمال ۶ ورود یا بیشتر ≈ ۸٫۴٪، حدود ۲٫۵ روز در ماه؛ تصمیم: برای ۲ تا ۳ روز از ماه نیروی آماده‌باش در نظر بگیرد.

4. فاصله‌ی اطمینان میانگین روزانه: خطای معیار = ۱٫۱۵ ÷ √۱۰ = ۱٫۱۵ ÷ ۳٫۱۶۲ ≈ ۰٫۳۶۵؛ t (۹ درجه‌ی آزادی) ≈ ۲٫۲۶۲؛ حاشیه ≈ ۰٫۸۳. فاصله = ۳ ± ۰٫۸۳ = ۲٫۲ تا ۳٫۸. پس λ واقعی می‌تواند ۲٫۲ یا ۳٫۸ باشد و نتیجه‌ی بند ۳ را باید با هر دو بسنجد.

5. حساسیت: اگر λ = ۳٫۸ باشد، احتمال ≥ ۶ بالاتر از ۸٫۴٪ می‌شود (حدود ۱۸٪). این تحلیل حساسیت (بر مبنای سناریوپردازی) به او می‌گوید داده‌ی بیشتری بگیرد.

نکته‌ی درس: ابزارها یکدیگر را تکمیل می‌کنند؛ آمار به او نگفت «۸٫۴٪»، گفت «بین دو مقدار، با این سطح عدم قطعیت». ثبت دقیق رزرو و ورود در ابزار مدیریتی داده‌ی لازم را می‌دهد؛ گزارش مالی شاه‌کلید هم برای بخش درآمد کمک می‌کند، اما محاسبه‌های این درس را خودتان یا با اکسل انجام می‌دهید.

تمرین برای شما

1. میانگین و انحراف معیار: رزروهای ۶ هفته‌ی اخیر: ۸، ۱۰، ۹، ۱۲، ۷، ۹. راهنما: مجموع ۵۵ و میانگین ≈ ۹٫۱۷؛ مربعات انحراف را جمع و بر ۵ تقسیم کنید (در حدود ۲٫۹۷ برای واریانس و ۱٫۷۲ برای انحراف معیار).

2. پواسون: λ = ۲ چک‌این در روز. احتمال ۰ ورود چیست؟ راهنما: e^(−۲) ≈ ۰٫۱۳۵ یعنی ۱۳٫۵٪.

3. نرمال: درآمد ماهانه‌ی میانگین ۲۰۰ و انحراف معیار ۲۵ میلیون. احتمال کمتر از ۱۵۰ میلیون؟ راهنما: z = (۱۵۰ − ۲۰۰) ÷ ۲۵ = ۲−؛ احتمال ≈ ۲٫۳٪.

4. فاصله‌ی اطمینان: از ۴۰۰ شب، ۲۶۰ شب فروش. راهنما: p̂ = ۰٫۶۵؛ خطا = √(۰٫۶۵ × ۰٫۳۵ ÷ ۴۰۰) ≈ ۰٫۰۲۳۸؛ حاشیه ≈ ۰٫۰۴۷؛ فاصله ≈ ۶۰٫۳٪ تا ۶۹٫۷٪.

5. علیت: اقامتگاهی که پاسخ سریع‌تر به پیام‌ها می‌دهد رتبه‌ی بالاتری دارد. سه توضیح بدیل (غیر از اینکه سرعت پاسخ باعث رتبه است) بنویسید. راهنما: علت معکوس؟ عامل مشترک؟ تصادف؟

جمع‌بندی درس

• میانگین بدون پراکندگی کافی نیست؛ با مقدار پرت، میانه را هم نگاه کنید.

• انحراف معیار نمونه بر n − 1 تقسیم می‌شود.

• پواسون برای شمارش رخدادها (ورود، استعلام) با نرخ ثابت مناسب است؛ λ را برای هر نوع روز جدا حساب کنید.

• امتیاز z احتمال رخداد را در توزیع نرمال می‌دهد، اگر داده واقعاً نرمال باشد.

• فاصله‌ی اطمینان عدم قطعیت برآورد را نشان می‌دهد؛ نمونه‌ی بزرگ‌تر آن را باریک‌تر می‌کند.

• p-value احتمال درست‌بودن فرضیه نیست؛ نتیجه‌ی غیرمعنادار یعنی شواهد کافی نیست.

• همبستگی قوی علیت نمی‌آورد؛ برای علیت آزمایش لازم است.

فهرست خطاهای تفسیر آمار

درس بعدی

درس بعدی تحلیل کسب‌وکار اجاره اقامتگاه بر پایه‌ی داده‌ها است. درس قبلی مدیریت پروژه بود. برای داده‌ی واقعی بازار ایران، به داده‌های قیمت و اشغال در ایران هم نگاه کنید.

آنچه نتوانستیم تأیید کنیم

• فرمول آزمون دو نسبت (با نسبت ترکیبی) و ضریب پیرسون را در صفحه‌های بازشده‌ی NIST و OpenStax نیافتیم یا نخواندیم (NIST فقط آزمون تک‌نمونه‌ی نسبت را در صفحه‌ی بازشده داشت)؛ این دو از دانش استاندارد آمار آمده و باید با نرم‌افزار راستی‌آزمایی شوند.

• متن بیانیه‌ی ۲۰۱۶ انجمن آمار آمریکا (Wasserstein و Lazar) باز نشد (سرورهای دانشگاهی پاسخ ندادند)؛ دیدگاه آن را فقط از ویکی‌پدیا می‌دانیم. صفحه‌ی NIST برای فاصله‌ی اطمینان میانگین هم باز نشد؛ فرمول میانگین از OpenStax آمد.

• تاریخچه (پواسون ۱۸۳۷، بورتکیویچ ۱۸۹۸، نیمن ۱۹۳۷) فقط از ویکی‌پدیا؛ کتاب مونتگومری فقط از صفحه‌ی ناشر.

• فرض مستقل‌بودن شب‌های متوالی و داده‌ی نرمال‌بودن درآمد ماهانه را با داده‌ی واقعی نسنجیده‌ایم؛ همه‌ی داده‌ها فرضی‌اند و هیچ آمار واقعی بازار ایران استفاده نشد.

• مقدارهای عددی مثال‌ها را دستی دوباره حساب کردیم ولی با نرم‌افزار آماری اجرا نکردیم.

سؤال‌های پرتکرار

برای اقامتگاه کوچک چند هفته داده کافی است؟

عدد جادویی نیست. فاصله‌ی اطمینان نشان می‌دهد: با ۸ هفته، بازه ±۱ رزرو بود. هر چه داده بیشتر، باریک‌تر (با ریشه‌ی n).

پواسون یا نرمال؟

برای شمارش‌های کوچک و گسسته (ورود در روز) پواسون؛ برای مجموع‌های بزرگ (درآمد ماه) نرمال.

«معنادار نیست» یعنی قیمت اثری نداشت؟

نه. یعنی داده برای تشخیص اثر کافی نبود. اندازه‌ی اثر پولی (درآمد به‌ازای هر شب موجود) را جدا حساب کنید.

فاصله‌ی اطمینان ۹۵٪ یعنی ۹۵٪ احتمال دارد مقدار واقعی داخلش باشد؟

تفسیر دقیق: روش ساخت بازه در ۹۵٪ تکرارها مقدار واقعی را می‌پوشاند. این بازه یا شامل مقدار واقعی هست یا نیست.

منابع

• Poisson distribution — Wikipedia

• Poisson distribution (فرمول، میانگین و واریانس) — NIST/SEMATECH e-Handbook

• Confidence interval — Wikipedia

• Standard deviation و Normal distribution — Wikipedia — en.wikipedia.org و en.wikipedia.org

• P-value و Correlation does not imply causation — Wikipedia — en.wikipedia.org و en.wikipedia.org

• Montgomery, D. C. (2019). Introduction to Statistical Quality Control, 8th ed. — صفحه‌ی ناشر Wiley

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods، «Poisson distribution»: itl.nist.gov و صفحه‌ی فاصله‌ی اطمینان نسبت: itl.nist.gov و صفحه‌ی آزمون نسبت: itl.nist.gov

• OpenStax، «Introductory Business Statistics 2e»، بخش‌های ۸٫۲ (فاصله‌ی اطمینان با t) و ۹٫۳ (توزیع لازم برای آزمون فرضیه): openstax.org و openstax.org

• OpenStax، «Introductory Business Statistics»، بخش ۸٫۳ (فاصله‌ی اطمینان نسبت): openstax.org و پیوست A (جدول‌های آماری): openstax.org